Użytkownik "Robakks" <R...@g...pl> napisał w wiadomości
news:ha2n87$if$1@inews.gazeta.pl...
> "Redart" <r...@o...pl>
> news:ha1iom$bgr$1@news.onet.pl...
>> "Robakks" <R...@g...pl>
>> news:ha09c9$dp6$1@inews.gazeta.pl...
>
>>> Czy liczba 2^oo ma moc aleph0 czy inną? :)
>>>
>>> Matematycy ci od liczb czystych mają na to odpowiedź:
>>> "nie ma takiej liczby 2^oo".
>>> Ale MY nie jesteśmy ograniczeni zakazami.
>>> Prawda Redarcie? :-)
>>> Robakks
>>> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
>
>> Hmmm... Dziwnie mi brzmi określenie 'liczba ma moc' ...
>> No ale nie będę wybrzydzał ...
>> Prawdę mówiąc nie wiem, jaką ma moc ...
>
> hehe
> Liczba ma taką moc jaką moc ma zbiór elementów o ilości
> elementów równej tej liczbie.
> np.
> liczba 5 ma moc pięć bo taką moc ma zbiór 5-cio elementowy.
> Liczba oo ma moc oo, a liczba 2*oo ma moc dwa razy większą. :)
>
>> Ale jedno mozna tu powiedzieć, co niejako wynika
>> z poprzedniej dyskusji:
>> 2^oo =/= oo (nie równa się)
>> Z prostej przyczyny: 3 jest dzielnikiem oo (jak wspominaliśmy wcześniej)
>
> Słusznie. :-)
>
>> Wydaje mi się też, że najprędzej zachodzi coś takiego:
>> 2^oo > oo (to 'widać', jak porównać szybkość postępu szeregów:
>> 1,2,3,4,5 -> 2,4,8,16,32 czy też, jak
>> potraktować to jako funkcje i wyciągnąć pochodne - pochodna pierwszej
>> jest stałą, pochodna drugiej jest funkcją liniową
>> (w uproszczeniu, pomijam dyskretność argumentów))
>
> Ta sprawa jest znana pod nazwą "Twierdzenie Cantora"
> zacytuję:
> Twierdzenie Cantora mówi, że dla każdego (skończonego albo
> nieskończonego) zbioru A, jego zbiór P(A) jest większej
> mocy (ma "więcej elementów").
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_pot%C4%99gow
y
>
> W naszym przypadku P(A) = 2^oo > oo
>
>> No ale do takich wniosków dochodzę stosując wprost działania dopuszczalne
>> na N do działań na oo
>> - a tu mam największe wątpliwości - czy to jest dopuszczalne.
>
> Jak najbardziej jest dopuszczalne dla zbiorów ograniczonych
> np. jeden pusty pokój w nieskończonym hotelu Hilberta.
> W tej nieskończoności brakuje jednego elementu do PEŁNA.

Tylko zauważ - jeśli sięgnąć np. do algebry abstrakcyjnej
( http://pl.wikibooks.org/wiki/Algebra_abstrakcyjna/Dz
ia%C5%82ania )
i dokładniej przyjrzeć się własnościom działań na zbiorze N,
to założenia 'alefickie' pozwalają działania takie jak
dodawanie czy mnożenie uznać za wewnętrzne (wyniki tych działań
wpadają do N). Natomiast wprowadzenie do zbioru N liczby oo
jako równoprawnej, podlegajacyj tym samym działaniom - z miejsca
rozwala niejaką elegancję i prostotę całości - dodawanie
przestaje być działaniem wewnętrznym. oo+1 nie należy do N.
Nie chciałbym, żeby to co mówię zostało poczytane jako
fanatyczne oddanie dla 'elegancji i prostoty', ale raczej
jako wskazanie, że rodzi to poważne kłopoty, kiedy zaczynamy
badać własności wszelkich innych działań i operatorów
w zbiorze N, czy też samych liczb. Tu akurat rozważamy
definicję 'dzielnika'.
Fakt - w zamian dostajemy w ręce element odwrotny do 0 (
dla działania mnożenia). To ma swoje zalety.
Ale raczej jestem skłonny uznać, że to dwa różne sposoby
ogarnięcia tematu nieskończoności (z punktu widzenia algebry
abstrakcyjnej), a nie że jeden jest 'prawdziwszy'
od drugiego. Jak przyglądam się temu tematowi i temu, co
nam tu wychodzi, to wygląda to trochę tak, jakby w tym
podejściu zbiór N tworzył dwa dość niezależne podzbiory
elementów - w jednym mamy 'znane nam liczebniki' - podawane
wprost (nazwijmy go zbiorem NL), w drugim mamy różne
odmiany nieskończoności - dzielone, odejmowane, logarytmowane,
pierwiastkowane itp. itd. (nazwijmy go zbiorem NOO).
W drugim zbiorze charakterystyczne jest to, że oo stanowi
element szczególny, krańcowy - podobnie jak 0 w zbiorze
pierwszym ( 0 - 1 nie należy do NL tak samo jak oo + 1
nie należy do NOO), tylko rozwijający się w drugą stronę
(działaniom mnożenia i dodawania w NL odpowiadają
działania odejmowania i dzielenia w NOO).

Założenie, że N = NL + NOO pozwala znaleźć elementy
odwrotne do 0 i oo nie wyłażąc poza N.

Problem jednak pojawia się tam, gdzie sugerujemy, że
NL = NOO lub NOO zawiera NL lub istnieje
"element środkowy" pomiędzy tymi zbiorami - czyli,
że idąc w przód przez elementy w NL (dodając lub mnożąc)
trafimy w końcu na element należący do NOO i odwrotnie
- cofając się w NOO (odejmując lub dzieląc) wpadniemy
do NL. Tak się nie dzieje. Przejście między tymi
zbiorami jest zdefiniowane przez definicję elementu
odwrotnego a nie przez wskazanie elementu granicznego.

Próba znalezienia 'najmniejszego niedzielnika oo'
to właśnie próba uchwycenia 'momentu przejścia'.

Obraz sytuacji zaciemnia natomiast fakt, iż
w zapisie '0+1' i 'oo-1' używamy tej samej 'jedynki'
do określenia jednak trochę innych rzeczy. W zbiorze
NL dodawanie jest pełnoprawnym działaniem
wewnętrznym, w zbiorze NOO zapis oo-1 ma sens
porządkowy - a działania wyglądają inaczej.


>
>> Czy w ogóle jest sens stosowania np. definicji 'dzielnika'
>> w stosunku do oo - czy moze oo wymaga jednak specjalnych definicji.
>> Ale zostawmy to na chwilę i wróćmy
>> do pierwotnego problemu. Stanęło na tym, że, na mój chłopski rozum:
>> 2^oo > oo
>
> Więc teraz pasowałoby przyglądnąć się Twojemu wzorowi:
> "najmniejszy niedzielnik liczby postaci x^y to x+1"
> podstawiamy oo
> x^y = oo
> z tego
> x+1 = log(y)oo + 1
>
> Edward Robak* z Nowej Huty
> ~>°<~
> miłośnik mądrości

Znaczy się, żeby nie było nieporozumień, bo coś mi tu nie pasuje:
Jest tak:

x^y = oo => logx(oo) = y (logarytm przy podstawie x z oo równa się y)

A dlaczego uznajesz za uprawniony zapis,
że jest takie x i y, że x^y = oo ?
Z tego by wprost wynikało, że x jest _jedynym_ dzielnikiem oo
- a to by przeczyło temu, co wcześniej ustaliliśmy.