On Dec 28 2009, 9:14 am, "Chiron" <e...@o...eu> wrote:

>
> A co to są zbiory równoliczne? 2 zbiory są równoliczne, kiedy elementy
> jednego z nich wycherpiemy elementami drugiego. Nie liczymy. Mamy 2 zbiory
> koszyków grzybów. Sprawdzamy, czy są równoliczne: wyjmujemy po jednym
> grzybku z każdego koszyka. Czynność powtarzamy, aż co najmniej w jednym się
> wyczerpią grzyby. Jeśli w drugim wtedy też się wyczerpią- to są to 2 zbiory
> równoliczne. Z definicji, Drogi Interlokutorze.
> Jeśli teraz do jednego kosza wrzucimy wszystkie liczby naturalne, a do
> drugiego wszystkie ułamki właściwe w przedziale <0;1>, i postąpimy podobnie,
> jak z grzybami- to zauważymy, że wyczerpiemy jeden zbiór drugim- są więc
> równoliczne.

Ostrożnie.

Istnieje **charakterystyczna** różnica pomiędzy
zbiorami skończonymi i nieskończonymi, którą najpierw
podam częściowo, by iść po lini powyżej cytowanego tekstu.

Gdy dwa zbiory skończone są równoliczne, to możemy
ich kolejne elementy przyporządkowywać sobie dowolonie
(byle jak), i zawsze oba zbiory wyczerpią się jednocześnie.

Natomiast w przypadku dwóch zbiorów nieskończonych,
to nawet gdy są równoliczne, to i tak zawsze istnieje
przyporządkowanie części właściwej jednego z całym drugim.
Mówiąc kolokwialnie, zawsze można przyporządkować "źle".

Otóż Richard Dedekind właśnie tak charakteryzował
zbiory skończone i nieskończone:

Definicja 1 (skończoności wg. Dedekinda)

Zbiór A jest skończony <=:=> A nie jest równoliczne
z żadnym swoim podzbiorem właściwym.

Można to też ująć tak:

zbiór A jest skończony <=:=> każda iniekcja A
w siebie jest surjekcją t.zn. dla każdego wzajemnie
jednoznacznego przyporządkowania A i podzbioru B
zbioru A zachodzi B = A.

Dedekind podał też równoważną własność dualną:

Definicja 2 (skończoności wg. Dedekinda)

Zbiór A jest skończony <=:=> każda surjekcja A
na A jest jednocześnie iniekcją (czyli jest wzajemną
jednoznacznością zbioru A ze sobą).

Innymi słowy, mówiąc obrazowo, gdy od każdego elementu
zbioru skończonego A poprowadzimuy strzałkę do
pewnego dowolnego elementu tegoż A, i tak się złoży,
że do każdego elementu zbioru A dotrze jakaś strzałka,
to do każdego elementu dotrze tylko jedna strzałka
(a więc strzałki dadzą wzajemną jednoznaczną odpowiedniość
zbioru A ze sobą).

Te definicje są równoważne. Co więcej, nietrudno
zobaczyć, że definicja 2 jest równoważna słynnej
słynnej dedekindowskiej zasadzie domków (klatek)
dla gołębi, która ma wiele zastosowań w teorii
liczb i w kombinatoryce (a pośrednio w całej
matematyce): gdy gołebi jest więcej niż domków,
i wszystkie wrócą na noc do tych domków, to
przynajmniej w jednym domku będzie więcej niż jeden
gołąb.

Żeby uzyskać lepsze opowiadanie i zrozumienie, to
nieco powyższe rozszerzę:

Z rana każdy gołąb miał swój własny domek dla siebie samego,
i nie było żadnych innych (pustych) domków. Gdy odleciały,
to jeden lub więcej domek usunięto (zabrano daleko-daleko :-).
Gołębie wróciły na noc i każdy wpakował się do jednego
z domków, które pozostawiono na miejscu. Wtedy w conajmniej
jednym domku będą co najmmniej dwa różne gołębie.

Teraz, przy tak sformułowanej zasadzie Dedekinda o domkach
dla gołębi, łatwiej zobaczyć jej równoważność z definicją 2.

***

Definicja 1 mówi nam, że dla zbioru niekonczonego zawsze
można go ustawić w odpowiedniości wzajemnie jednoznacznej
z jego podzbiorem właściwym. Więc także, gdy mamy dwa
równoliczne zbiory nieskończone A B, to zawsze istnieje
wzajemna jednoznaczność pomiędzy A i podzbiorem właściwym
zbioru B (istnieje, z założenia równoliczności, także
inna odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna, tym razem
pommiędzy A i całym B).

======
Włodek