Path: news-archive.icm.edu.pl!news.rmf.pl!nf1.ipartners.pl!ipartners.pl!plix.pl!newsf
eed1.plix.pl!news-out1.kabelfoon.nl!newsfeed.kabelfoon.nl!bandi.nntp.kabelfoon.
nl!feeder.news-service.com!postnews.google.com!x1g2000prb.googlegroups.com!not-
for-mail
From: "Wlodzimierz Holsztynski (Wlod)" <s...@g...com>
Newsgroups: pl.sci.filozofia,pl.sci.psychologia
Subject: Re: Do XL-ki i Chirona od Robakksa :)
Date: Thu, 11 Feb 2010 04:53:23 -0800 (PST)
Organization: http://groups.google.com
Lines: 104
Message-ID: <f...@x...googlegroups.com>
References: <hh82a8$ioo$1@inews.gazeta.pl> <hh8et2$rg2$1@opal.futuro.pl>
<hh9tro$odo$1@inews.gazeta.pl> <hhap1k$ba0$1@news.onet.pl>
NNTP-Posting-Host: 76.192.130.141
Mime-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-2
Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
X-Trace: posting.google.com 1265892803 25068 127.0.0.1 (11 Feb 2010 12:53:23 GMT)
X-Complaints-To: g...@g...com
NNTP-Posting-Date: Thu, 11 Feb 2010 12:53:23 +0000 (UTC)
Complaints-To: g...@g...com
Injection-Info: x1g2000prb.googlegroups.com; posting-host=76.192.130.141;
posting-account=UrCXdgoAAADLYEIMhLgC9DXK7KdryJbT
User-Agent: G2/1.0
X-HTTP-UserAgent: Mozilla/5.0 (Macintosh; U; PPC Mac OS X 10.4; en-US; rv:1.9.1.7)
Gecko/20091221 Firefox/3.5.7,gzip(gfe),gzip(gfe)
Xref: news-archive.icm.edu.pl pl.sci.filozofia:199067 pl.sci.psychologia:511268
Ukryj nagłówki
On Dec 28 2009, 9:14 am, "Chiron" <e...@o...eu> wrote:
>
> A co to są zbiory równoliczne? 2 zbiory są równoliczne, kiedy elementy
> jednego z nich wycherpiemy elementami drugiego. Nie liczymy. Mamy 2 zbiory
> koszyków grzybów. Sprawdzamy, czy są równoliczne: wyjmujemy po jednym
> grzybku z każdego koszyka. Czynność powtarzamy, aż co najmniej w jednym się
> wyczerpią grzyby. Jeśli w drugim wtedy też się wyczerpią- to są to 2 zbiory
> równoliczne. Z definicji, Drogi Interlokutorze.
> Jeśli teraz do jednego kosza wrzucimy wszystkie liczby naturalne, a do
> drugiego wszystkie ułamki właściwe w przedziale <0;1>, i postąpimy podobnie,
> jak z grzybami- to zauważymy, że wyczerpiemy jeden zbiór drugim- są więc
> równoliczne.
Ostrożnie.
Istnieje **charakterystyczna** różnica pomiędzy
zbiorami skończonymi i nieskończonymi, którą najpierw
podam częściowo, by iść po lini powyżej cytowanego tekstu.
Gdy dwa zbiory skończone są równoliczne, to możemy
ich kolejne elementy przyporządkowywać sobie dowolonie
(byle jak), i zawsze oba zbiory wyczerpią się jednocześnie.
Natomiast w przypadku dwóch zbiorów nieskończonych,
to nawet gdy są równoliczne, to i tak zawsze istnieje
przyporządkowanie części właściwej jednego z całym drugim.
Mówiąc kolokwialnie, zawsze można przyporządkować "źle".
Otóż Richard Dedekind właśnie tak charakteryzował
zbiory skończone i nieskończone:
Definicja 1 (skończoności wg. Dedekinda)
Zbiór A jest skończony <=:=> A nie jest równoliczne
z żadnym swoim podzbiorem właściwym.
Można to też ująć tak:
zbiór A jest skończony <=:=> każda iniekcja A
w siebie jest surjekcją t.zn. dla każdego wzajemnie
jednoznacznego przyporządkowania A i podzbioru B
zbioru A zachodzi B = A.
Dedekind podał też równoważną własność dualną:
Definicja 2 (skończoności wg. Dedekinda)
Zbiór A jest skończony <=:=> każda surjekcja A
na A jest jednocześnie iniekcją (czyli jest wzajemną
jednoznacznością zbioru A ze sobą).
Innymi słowy, mówiąc obrazowo, gdy od każdego elementu
zbioru skończonego A poprowadzimuy strzałkę do
pewnego dowolnego elementu tegoż A, i tak się złoży,
że do każdego elementu zbioru A dotrze jakaś strzałka,
to do każdego elementu dotrze tylko jedna strzałka
(a więc strzałki dadzą wzajemną jednoznaczną odpowiedniość
zbioru A ze sobą).
Te definicje są równoważne. Co więcej, nietrudno
zobaczyć, że definicja 2 jest równoważna słynnej
słynnej dedekindowskiej zasadzie domków (klatek)
dla gołębi, która ma wiele zastosowań w teorii
liczb i w kombinatoryce (a pośrednio w całej
matematyce): gdy gołebi jest więcej niż domków,
i wszystkie wrócą na noc do tych domków, to
przynajmniej w jednym domku będzie więcej niż jeden
gołąb.
Żeby uzyskać lepsze opowiadanie i zrozumienie, to
nieco powyższe rozszerzę:
Z rana każdy gołąb miał swój własny domek dla siebie samego,
i nie było żadnych innych (pustych) domków. Gdy odleciały,
to jeden lub więcej domek usunięto (zabrano daleko-daleko :-).
Gołębie wróciły na noc i każdy wpakował się do jednego
z domków, które pozostawiono na miejscu. Wtedy w conajmniej
jednym domku będą co najmmniej dwa różne gołębie.
Teraz, przy tak sformułowanej zasadzie Dedekinda o domkach
dla gołębi, łatwiej zobaczyć jej równoważność z definicją 2.
***
Definicja 1 mówi nam, że dla zbioru niekonczonego zawsze
można go ustawić w odpowiedniości wzajemnie jednoznacznej
z jego podzbiorem właściwym. Więc także, gdy mamy dwa
równoliczne zbiory nieskończone A B, to zawsze istnieje
wzajemna jednoznaczność pomiędzy A i podzbiorem właściwym
zbioru B (istnieje, z założenia równoliczności, także
inna odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna, tym razem
pommiędzy A i całym B).
======
Włodek
|