On 15 Paź, 21:45, "Szpilka" <s...@s...pl> wrote:
> Użytkownik "Qrczak" <q...@g...pl> napisał w
wiadomościnews:ff0bvh$s22$1@achot.icm.edu.pl...
>
>
>
> > Użytkownik "Jacek" <m...@w...pl> napisał w wiadomości
> >news:ff0b8i$r2$1@atlantis.news.tpi.pl...
> >> Zadanie z testu dla klasy VI:
>
> >> Ile prostokątów można ułożyć z 6 jednakowych (przystających) kwadratów?
>
> >> Odpowiedzi są:
> >> A 2
> >> B 3
> >> C 4
> >> D nieskończenia wiele.
>
> >> Coś mi się zdaje, że zadanie układał:
> >> A partacz ;-)
> >> B zmęczony i niewyspany ;-)
> >> C ktoś w zastępstwie ;-)
> >> D nie mam racji ;-)
>
> >> Wytłumaczcie mi z łaski swojej, jak rozumieć to zadanie.
>
> > 4
>
> Ale jak liczyłaś?
> Bo jesli 1x6 i 6x1 brałaś jako 2 różne prostokąty (i 2x3, 3x2), no to w
> sumie 4.
> Ale mi się wydaje że to się liczy jako jeden.
>
> Sylwia


Zgadzam się, spróbuję napisać o tym, zadanie mi się podoba i mam
chwilę czasu.
Wybiorę wersję bardziej prawdopodobną - tj. trzeba użyć wszystkich
kwadratów:
Ilość prostokątów jest równa ilości dwuelementowych par liczb
naturalnych o wartościach ze zbioru 1..6 dających w iloczynie 6 z
pominięciem permutacyj, bo prostokąty przystające są przystające jak
by je nie obrócić. Wszystkich takich par jest 4 - są to (1,6), (2,3),
(3,2), (6,1). Ponieważ obrót o 90 stopni powoduje przejście (2,3) w
(3,2) i odwrotnie (to samo w przypadku (1,6) i (6,1)) widać stąd, że
interesuje nas ilość zbiorów takich par, które są równoważne jeśli
chodzi o te obroty. Są dwa takie zbiory - {(2,3),(3,2)} oraz {(1,6),
(6,1)}. Czyli odpowiedź brzmi 2.

Istnieje funkcja, która przyporządkowuje każdej parze odpowiedni
zbiór, nazwijmy ją p. Jej dziedziną jest {(1,6), (2,3), (3,2), (6,1)}
a przeciwdziedziną {{(2,3),(3,2)}, {(1,6),(6,1)}}, kompletny opis to:
p((1,6))={(1,6),(6,1)}
p((6,1))={(1,6),(6,1)}
p((2,3))={(2,3),(3,2)}
p((3,2))={(2,3),(3,2)}

Ilość elementów w jej przeciwdziedzinie to nasza odpowiedź.

Teraz wyjaśnienie - dla dziecka (nie dla nauczyciela). Najlepiej
powiedzieć dziecku, że pary liczb naturalnych bierzemy, bo akurat para
liczb to najmniej co musimy wiedzieć o prostokącie, żeby go odróżnić
od innych prostokątów. Gdybyśmy wzięli coś jeszcze, (np. kolor
czerwony lub niebieski) to ten zbiór struktur (już trójek, nie par)
niepotrzebnie by nam urósł:

(1,6, niebieski), (2,3, niebieski), (3,2, niebieski), (6,1,
niebieski), (1,6, czerwony), (2,3, czerwony), (3,2, czerwony), (6,1,
czerwony)

I to jest nam niepotrzebne, bo i tak zbiory tych trójek oznaczające
równoważne (tj. przystające) prostokąty powodują, że ignorujemy kolor:

Jeden zbiór to
{(2,3, niebieski),(2,3, czerwony), (3,2, niebieski), (3,2, czerwony)}
a drugi
{(1,6, niebieski),(1,6, czerwony), (6,1, niebieski), (6,1, czerwony)}

Zbiory są nadal dwa, par jest dwa razy więcej, ale i tak np. pary
(1,6, niebieski) i (1,6, czerwony) są w tym samym zbiorze. Wynik jest
ten sam.

Pary są więc po to, żeby zapomnieć o ich kolorze, położeniu itp.
Potrzebujemy par, bo mowa jest o prostokątach. Gdybyśmy mieli
kwadraty, wystarczyłaby jedna liczba, dla prostopadłościanów - trzy.
Liczby naturalne wybieramy dlatego, że tylko one mogą oznaczać ilość
kwadratów (kwadratu używamy bądź nie, nie można użyć 1/3 kwadratu).
Następnie korzystamy ze zbioru wszystkich takich par, bo to jest coś,
co pozwala nam "wygenerować" wszystkie interesujące nas prostokąty.
Gdybyśmy chcieli, moglibyśmy użyć par liczb całkowitych, matematycy
wymyślili je dla nas, ale lepiej nie używać zbyt skomplikowanych
przyrządów, jeżeli można zrobić to prościej - nie potrzebujemy liczb
całkowitych bo np. para (-3,-2) nie reprezentuje dla nas żadnego
prostokątu. Więc bierzemy NAJPROSTSZY generator, który może zrobić
WSZYSTKIE nasze wyniki.

Teraz na zbiór który jest naszym "generatorem" prostokątów nakładamy
warunki - dlatego chcemy tylko te pary, których iloczyn daje 6.
Iloczyn określa pole prostokąta, a my mamy pole zadane przez ilość
kwadratów, których należy użyć. Więc z tego "generatora" (a może
fabryki ?) prostokątów zamawiamy tylko takie. Gdybyśmy nie musieli
użyć wszystkich kwadratów warunek brzmiałby x*y<=6 (mniejsze bądź
równe 6). Na koniec mamy problem - generator wyprodukował dla nas
cztery prostokąty, ale każdy w dwóch wersjach - a dla nas prostokąty
przystające są identyczne, więc musimy zignorować jeszcze tę jedną,
nie obchodzącą nas cechę. Zupełnie tak, jak ignorowaliśmy kolor czy
inne cechy prostokątów, decydując się na ich opisywanie za pomocą par
liczb. Możesz napisać wszystkie pary na kartce i zaznaczyć linijką oś
y=x:

(1,6) x
(2,3) x
x (3,2)
x (6,1)

Teraz zginamy kartkę (a może lepiej folię) wzdłuż diagonali i mamy
perspektywę, w której niektóre prostokąty się pokrywają - i o to nam
chodzi. Widzimy, że (1,6) oraz (6,1) to ten sam prostokąt. W wyniku
mamy dwa prostokąty. Więc opisaliśmy problem za pomocą struktur
algebraicznych, użyliśmy czegoś, co wygenerowało wszystkie możliwości,
zadaliśmy warunki które pary nas interesują, a potem na zbiór wyników
patrzymy specjalnie z takiej perspektywy, żeby nie widzieć tego, co
nas nie obchodzi. To tak, jakbyśmy specjalnie zamknęli oczy, np. żeby
porównać wyłącznie dźwięki. Takim przyrządem, który pozwala nam
zignorować rzeczy dla nas nieważne jest właśnie funkcja p. Dzięki niej
"nie widzimy" obrotów prostokątów. Gdyby np. pytanie brzmiało inaczej
- np. żeby z tych kwadratów zrobić dwa prostokąty, to też byśmy
potrzebowali takiej funkcji - nasz generator wyprodukowałby pary par,
których suma iloczynów jest równa 6, a my byśmy szukali czegoś, żeby
zignorować nieistotne różnice między wynikami (funkcji która mapuje
parę par na zbiór równoważnych par par). To zgięcie folii wzdłuż
diagonali - jest na to mądra nazwa - "homomorfizm", polega tylko na
tym, żeby czegoś nie widzieć. Zbiory z jej przeciwdziedziny (na to też
jest mądra nazwa - klasy równoważności) - mają to do siebie, że możemy
odróżnić prostokąty opisywane przez ich elementy WTEDY i TYLKO WTEDY,
gdy pochodzą z różnych zbiorów. Par z tego samego zbioru nie możemy
(właściwie nie chcemy) odróżnić. Mogłoby się nam przytrafić, że
zignorowalibyśmy za mało, wtedy wynik wyszedłby za duży. Dlatego
musimy zignorować wszystko, co tylko możemy.

Szósta klasa to chyba 13 lat ? Więc na koniec możesz powiedzieć, że
kiedyś taki genialny facet, Galois, wymyślił dlaczego ilość sposobów
przestawiania liczb jest ważna dla rozwiązywania równań. Dwa razy nie
przyjęli go do Akademii, nie chcieli mu nic opublikować, był
nieszczęśliwie zakochany i zabito go w sprowokowanym pojedynku kiedy
miał lat dwadzieścia. A on wiedział, że ma rację.

Pozdrawiam,
Paweł Biernacki